additive[poly_]:=PolynomialMod[poly,(α^3)+α+1,Modulus->2]

F8=Prepend[Table[additive[(α^k)],{k,0,6}],0];(* $\F_8$の元のリストを作る．最初に$0$もふくめてある．*)
multiplicative[poly_]:=If[additive[poly]===0,0,(* $0$は$0$を返す．*)
α^(Position[F8,additive[poly]][[1]][[1]]-2)];(* $\F_8$の表のどこにあるかを逆引き．Positionの仕様により指数を調整する *)

u[info_]:=Module[{qx},
qx=ToExpression[Characters[info]].Table[(x^k),{k,3,0,-1}];
Expand[qx*(x^3)+ PolynomialMod[qx*(x^3),(x^3)+x+1,Modulus->2],Modulus->2]]

u["1101"]

PolynomialMod[u["0101"],(x^3)+x+1,Modulus->2]

correction[received_]:=Module[{ra,ua},
ra=ToExpression[Characters[received]].Table[(α^k),{k,6,0,-1}];
ua=Expand[ra + multiplicative[ra],Modulus->2];
IntegerString[FromDigits[Reverse[CoefficientList[ua,α]]],10,7]]

correction["0101001"]